Родился 22 декабря 1914 г. в с. Старо-Алейском ныне Третьяковского р-на Алтайского края в семье кузнеца. Русский. В 1930 г. окончил 7 классов Локтевской школы крестьянской молодежи.
В 1931-1934 гг. работал токарем по металлу в Локтевском зерносовхозе Алтайского края. В 1937 г. окончил рабфак в г. Томске, в 1941 г. - исторический факультет Томского педагогического института, занимался в Томском аэроклубе.
В Красной армии с июля 1941 г. Окончил интендантские курсы в Омске в ноябре 1941 г.
В действующей армии с апреля 1942 г. Воевал на Западном и Степном фронтах. Был ранен. Отличился при форсировании р. Днепр. Командир роты 182-го гвардейского стрелкового полка 62-й гвардейской стрелковой дивизии 37-й армии гвардии старший лейтенант А. Калашников 28 сентября 1943 г. со своей ротой одним из первых переправился через р. Днепр в районе с. Куцеволовка (Онуфриевский р-н Кировоградской обл.). Рота удерживала плацдарм, отразив несколько вражеских контратак, уничтожив более 200 гитлеровцев. Пропал без вести 30 октября 1943 г.
Звание Героя Советского Союза присвоено 22 февраля 1944 г.
Калашников А.П. награжден орденами Ленина, Красной Звезды, медалью. Именем героя названа улица с. Куцеволовка. На здании Томского государственного педагогического университета установлена мемориальная доска.